2023 年全国高中数学联赛四川省预赛试题第八题

不知道放这道题的人咋想的

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题目描述：设 $A,B,C$ 为三角形的三个内角，则 $3\cos A+2\cos2B+\cos3C$ 的取值范围为 $\_\_\_\_\_\_\_\_$。

答案：$(-\dfrac{25}{16},6)$。

推理：

原式显然是 $<6$ 的；由于 $\cos3C$ 的系数小，其对最小值的贡献不大，可以猜测 $C\to0$，此时 $A+B\to\pi$，用 $A=\pi-B$ 代换后求二次方程即可求得 $\cos A=-\dfrac{3}{8}$ 时取到最小值 $-\dfrac{25}{16}$。

证明：

设 $f(A,B,C)=3\cos A+2\cos2B+\cos3C$。

Sup

因为 $A\in(0,\pi)$，所以 $\cos A<1$，$3\cos A+2\cos2B+\cos3C<3+2+1=6$。

当 $(A,B,C)\to(0,\pi,0)$ 时，$f(A,B,C)\to 6$。

Inf

不妨设 $A=\dfrac{\pi}{2}+x,B=\dfrac{\pi}{2}-y,C=y-x$，$-\dfrac{\pi}{2}<x<y<\dfrac{\pi}{2}$。

则 $f(x,y)=f(A,B,C)=-3\sin x-2\cos(2y)+\cos(3y-3x)$。

最小值点只会在 $x=-\dfrac{\pi}{2}$ 或 $x=y$ 或 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=0$ 时取到。

$\red{x=-\dfrac{\pi}{2}}$

此时 $f(x,y)=3-2\cos(2y)+\sin(3y)\ge3-2-1=0$。

$\red{x=y}$

此时 $f(x,y)=-3\sin y-2\cos(2y)+1=4\sin^2y+3\sin y-1\ge-\dfrac{25}{16}$。在 $\sin y=-\dfrac{3}{8}$ 时取等。

也就是当 $x,y\to\arcsin\dfrac{3}{8}$ 时，$f(x,y)\to-\dfrac{25}{16}$。

$\red{\dfrac{\partial f}{\partial x}=0}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=-3\cos x+3\sin(3y-3x)=0$。

即 $\cos x=\sin(3y-3x)$。

解得 $x=\dfrac{3y}{2}-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3y}{4}-\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3y}{4}-\dfrac{5\pi}{8}$。

$\blue{x=\dfrac {3y} {2}-\dfrac {\pi} {4}}$

此时 $-\dfrac{\pi}{6}<y<\dfrac{\pi}{2}$。

设 $y=2z-\dfrac{\pi}{6}$，则 $0<z<\dfrac{\pi}{3}$。

$f(x,y)=-3\sin x-2\cos(2y)+\cos(3y-3x)=-2\sin(\dfrac{3y}{2}-\dfrac{\pi}{4})-2\cos(2y)=-2\sin(3z-\dfrac{\pi}{2})-2\cos(4z-\dfrac{\pi}{3})=2\cos(3z)-2\cos(4z-\dfrac{\pi}{3})=-4\sin(\dfrac{7z}{2}-\dfrac{\pi}{6})\sin(-\dfrac{z}{2}+\dfrac{\pi}{6})$。

$z>\dfrac{\pi}{12}$ 时，$-4\sin(\dfrac{7z}{2}-\dfrac{\pi}{6})\sin(-\dfrac{z}{2}+\dfrac{\pi}{6})>-4\times1\times\sin\dfrac{\pi}{8}>-\dfrac{25}{16}$。

$z\le\dfrac{\pi}{12}$ 时，$-4\sin(\dfrac{7z}{2}-\dfrac{\pi}{6})\sin(-\dfrac{z}{2}+\dfrac{\pi}{6})\ge-4\times\sin\dfrac{\pi}{8}\times1>-\dfrac{25}{16}$。

$\blue{x=\dfrac {3y} {4}-\dfrac {\pi} {8}}$

此时 $-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}$。

设 $y=4z-\dfrac{\pi}{2}$，则 $0<z<\dfrac{\pi}{4}$。

$f(x,y)=-3\sin x-2\cos(2y)+\cos(3y-3x)=-4\sin(\dfrac {3y} {4}-\dfrac {\pi} {8})-2\cos(2y)=4\cos(3z)+2\cos(8z):=f(z)$。

$f(0)=6,f(\dfrac{\pi}{6})=-1,f(\dfrac{\pi}{4})=-2\sqrt{2}+2>-\dfrac{25}{16}$。

$f'(z)=-4(3\sin(3z)+4\sin(8z))=0$ 时，设 $3\sin(3z)=-4sin(8z)=t$。

若 $z>\dfrac{\pi}{6}$，则 $f'(z)$ 有唯一解，应为极大值点，故 $f(z)>\min\{f(\dfrac{\pi}{6}),f(\dfrac{\pi}{4})\}$。

若 $z\le \dfrac{\pi}{6}$，则 $g(t)=f(z)=\dfrac{4\sqrt{9-t^2}}{3}-\dfrac{\sqrt{16-t^2}}{2}>g(3)=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}>-\dfrac{25}{16}$。

$\blue{x=\dfrac {3y} {4}-\dfrac {5\pi} {8}}$

此时 $\dfrac{\pi}{6}<y<\dfrac{\pi}{2}$。

设 $y=4z+\dfrac{\pi}{6}$，则 $0<z<\dfrac{\pi}{12}$。

$f(x,y)=-3\sin x-2\cos(2y)+\cos(3y-3x)=-4\sin(\dfrac {3y} {4}-\dfrac {5\pi} {8})-2\cos(2y)=4\cos(3z)-2\cos(8z+\dfrac{\pi}{3})\ge4\cos\dfrac{\pi}{4}-2>0>-\dfrac{25}{16}$。