7. 设 $A$ 为一个非空有限正实数集，$kA=\{a_1+a_2+\cdots+a_k:a_1,a_2,\cdots,a_k\in A\},a_k=|\bigcup\limits_{i=1}^kiA|$。证明 $2025a_{2026}\ge2026a_{2025}$。

8. 对 $\R^2$ 的两个有限子集 $A,B$，称 $A$ 超越 $B$，如果对任意 $P\in\R^2$，有 $\sum\limits_{U\in A}PU\ge\sum\limits_{V\in B}PV$。 证明：对任意 $\R^2$ 的 $n$ 元子集 $S$，可将 $S$ 划分为 $A,B$ 使得 $A$ 超越 $B$ 且 $|A|\le|B|+100\sqrt{n}$。

9. 甲乙两人玩游戏，初始甲给选择一个 $1,2,\cdots,n$ 的排列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，乙选择一个下标 $i\in\{1,2,\cdots,n\}$ 并让 $a_i$ 减 $1$。

此后甲乙两人轮流操作，设上一次操作中选择的下标为 $i'$，则这一次选择的下标 $i$ 必须为 $i'-1$ 或 $i'+1$（如果 $i'=1$ 则只能 $i=2$，如果 $i'=n$ 则只能 $i=n-1$），并让 $a_i$ 减 $1$。先操作出负数的一方输。

求所有正整数 $n\ge2$ 使得甲有必胜策略。

10. 证明：若一个整点三角形 $ABC$ 的内部（不含边界）至少有两个不同整点 ，则其内部至少有两个不同整点 $P,Q$，使得直线 $PQ$ 过 $A,B,C$ 之一或平行于 $AB,BC,CA$ 之一。

11. 对固定正整数 $n$，设 $f(n)$ 是满足以下条件的最大正整数：可将一个大矩形划分为 $f(n)$ 个小矩形，每个小矩形的边与大矩形的边平行，且每条平行于大矩形一边的直线经过不超过 $n$ 个小矩形的内部。

证明 $3\times2^{n-1}-1\le f(n)\le3^n-2$。

12. 设 $A\subseteq\Z^+$，满足对任意正整数 $n$：$n\in A$ 当且仅当 $n=1$ 或 $\begin{cases}n-1\not\in A\\\forall 1<d<n,d\mid n:d\not\in A\end{cases}$。求 $A$。

13. 给定正整数 $n\ge2$，求最小的正整数 $m$，使得存在 $\R^2$ 的 $n$ 元子集 $S$，满足 $\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in S$，都有 $|\{(x,y)\in S:(x-x_1)(x-x_2),(y-y_1)(y-y_2)\le0\}|\le m$。