求所有整系数多项式 $f$, 使得对任意奇素数 $p$, 都有 $f(p)\mid2^p-2$.

给定正整数 $d$ 和整数数列 $a_1,a_2,\cdots$. 设 $S$ 是所有不超过 $d$ 次的整系数多项式构成的集合 (包括零多项式). 证明: 存在多项式 $p\in S$，使得对任意多项式 $q\in S$, 存在正整数 $n$ 使得 $q(n)\nmid p(n)+a_n$.

求所有正整数 $n$, 使得 $3\le n\le10^{20}$, 且对任意和 $n$ 互素的整数 $a$, 以下两个命题等价: (1) 对任意整数 $b$ 都有 $a\not\equiv b^2\pmod n$ (即 $a$ 是非二次剩余); (2) 对任意和 $n$ 互素的整数 $b$, 存在正整数 $k$ 使得 $a^k\equiv b\pmod n$ (即 $a$ 是原根).

称一个正整数 $n$ 为拟素数, 若 $n$ 无平方因子且对任意整数 $x$, 都有 $n\mid\sum\limits_{d\mid n}(x^d-x)$. 设 $r$ 是一个费马素数 (形如 $2^{2^m}+1,m\ge0$ 的素数), $n$ 是一个拟素数. 证明: 如果 $n$ 的一个素因子模 $r$ 余 $1$, 那么 $n$的每个素因子都模 $r$ 余 $1$.

给定正整数 $a_1>1$. 设 $a_{n+1}$ 是大于 $a_n$ 且与 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 均不互素的最小正整数. 证明存在 $T,L\in\Z^+$，使得 $\forall n\in\Z^+:a_{n+T}=a_n+L$.

求所有正整数数列 $a_1,a_2,\cdots$, 使得 $a_2\ne a_4$, 且对任意正整数 $i,j$, 有: