22. 设平面内的直线 $l$ 上有一点 $P$, 它将直线分成两条射线, 一条染蓝色, 另一条染红色, 则称 $l$ 为一条分色直线, $P$ 为它的分色点.

两条分色直线相交时, 如果两条直线在交点处的颜色相同, 就称该交点为好交点; 否则称为坏交点.

求所有整数 $n \ge 2$, 使平面内存在 $n$ 条分色直线, 满足:

(1) 任意两条不平行任意三条不共点;

(2) 任一直线的分色点都不是它与其他直线的交点:

(3) 对每条直线, 其好交点数与坏交点数之差的绝对值不超过 $1$.

23. $N$ 支队伍进行单循环比赛, 每两队之间恰比赛一场, 胜队得 $2$ 分, 负队 $0$ 分, 平局各得 $1$ 分. 所有比赛结束之后, 将各个队伍的总得分按递减的顺序排列为

$$A = (a_1 \ge a_2 \ge \dots \ge a_N).$$

我们知道序列 $A$ 的信息, 并知道每个队伍的总得分对应于哪个 $a_i$. 求满足如下条件的序列 $A$ 的数目, 要求对于这个 $A$, 我们可以通过前述信息完全确定 $N$ 支队伍的所有胜负关系.

24. 给定平面上奇数多个点, 它们两两之间的距离各不相同. 设 $G$ 是以这些点为顶点的简单图, 图中每个点的度都等于 $2$, 其邻点为到该点距离最远的两个点. 证明: $G$ 是连通图.

25. 给定整数 $n \ge 3$, 设 $A_1A_2\cdots A_n$ 为平面上的一个凸多边形. 记 $M_{i,j}$ 为线段 $A_iA_j$ 的中点, $i \neq j$, 并令 $M$ 为这些中点构成的集合. 假设 $M$ 恰有 $n(n-1)/2$ 个点.

将多边形 $M_{1,2}M_{2,3}\cdots M_{n,1}$ 剖分成三角形，并要求满足以下三个条件:

(1) 任意两个三角形 (包括内部与边界) 的交集, 或者为空集, 或者为一个公共顶点, 或者为一条公共边.

(2) 所有三角形的顶点都属于 $M$, 但 $M$ 中的点不需要都用上.

(3) 每个三角形的每条边都具有 $M_{i,j}M_{i,k}$ 的形式, 其中 $i,j,k$ 两两不同.

证明: 这样的剖分中, 三角形总数为 $3n-8$.

26. 称由正实数构成的集合 $S = \{s_1, s_2, \dots, s_k\}$ 为一个 "多边形集", 如果 $k \ge 3$ 且存在一个非退化的 (未必凸的) 平面 $k$ 边形使得其所有边的长度恰为 $s_1, s_2, \dots, s_k$ 的一个排列.

称 $S$ 为 "多重多边形集", 如果将 $S$ 任意分拆为两个子集之并, 若每个子集都含至少 $3$ 个元素, 则分拆而成的两个子集中恰好一个是 "多边形集". 给定整数 $n \ge 7$.

(a) 是否存在一个 $n$ 元 "多重多边形集" $S$, 使得将其最大元素删去之后所得 $n-1$ 元集也是 "多重多边形集"?

(b) 是否存在一个 $n$ 元集 $S$, 使得 $S$ 的所有 $n-1$ 元子集都是 "多重多边形集"?

27. 设 $K$ 是单位圆周, 称 $K$ 上有限段两两不相交的圆弧之并为一个“瓦块”. 对于瓦块 $T$, 定义 $T$ 的长度 $|T|$ 为构成 $T$ 的圆弧的长度之和除以 $2\pi$ 所得的值. 所谓 $T$ 的一个复制是指由 $T$ 绕 $K$ 的圆心旋转一定的角度所得的瓦块.

对给定的正数 $\epsilon < 1$, 是否存在一列瓦块 $T_1, T_2, \dots, T_n, \dots$ 同时满足如下两个条件:

(1) 对每个正整数 $n$ 都有 $|T_n| > 1 - \epsilon$:

(2) 对所有 $n = 1, 2, \dots$, 不论如何复制 $T_n$ 为 $T'_n$, 总有

$$\bigcup_{n \ge 1} T'_n \neq K.$$