预赛模拟-连蒙带猜版

1

函数 $f(x) = \sin^4x\tan x + \cos^4x\cot x$ 的值域是：

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因为 $\lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} = +\infty, \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} = -\infty$，所以猜测 $f(x)$ 无上下界。

而当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时 $f(x) = \frac{1}{2}$，故猜测答案为 $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)$。

2

lxw 把答案写在了图上，。。。令人无语。

如图，$\angle ACB = 45\deg, V_{D-ABC} = \frac{1}{6}$，问：$CD$ 的值为多少？

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读图即可，$\sqrt{3}$。

3

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，二面角 $A-BD_1-A_1$ 的度数为：

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做 $D_1B$ 中点 $O$，$AD_1$ 靠 $A$ 的四等分点 $P$，$A_1B$ 靠 $A_1$ 的点 $Q$，则 $OP, OQ \perp DB$，且 $OPQ$ 为等边 $\triangle$，故答案为 $60\deg$。

4

已知 $\sin^6x + \cos^6x + 2a\sin x\cos x \ge 0$ 恒成立，问 $a$ 的取值范围。

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求导，得 $-3\sin(2x)\cos(2x) + 2a\cos(2x) = 0$ 时有 $\cos(2x) = 0$ 或 $a = \frac{3}{2}\sin(2x)$。将 $\cos(2x) = 0$ 带入得 $a \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$。

5

$(1+x+\dots + x^{100})^3$ 中 $x^{150}$ 的系数为：

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$$\binom{152}{2} - 3 \times \binom{51}{2} = 7651$$

6

设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，记：

$$\alpha = \frac{S_{BCO}}{S_{ABC}}, \beta = \frac{S_{CAO}}{S_{ABC}}, \gamma = \frac{S_{ABO}}{S_{ABC}}$$

求 $\alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}$。

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特殊值得 $0$。

7

求最大圆的半径，使得该圆与 $y=x^4$ 在原点相切且圆在 $y=x^4$ 上方？

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考虑将 $y=x^4$ 带入圆。令圆为 $x^2 + (x^4 - r)^2 = r^2$。

则该方程有 $6$ 个实根（两两重复），两个复根。

化简应得 $x^2(x^2-a)^2(x^2+b) = 0$。对比系数得 $a = \sqrt[3]{2}, r = \frac{3}{4}\sqrt[3]{2}$。

8

通项为 $a_n = b[\sqrt{n + c}] + d, b, c, d \in \Z$ 的 $a_n$ 为：$1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$（所有正奇数 $m$ 连续出现 $m$ 次），问 $(cd)^b$ 为？

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$$c = -1, d = 1, b = 2, (cd)^b = 1$$

9

已知 $a_n$ 为单调递增的正整数数列，且 $\forall 1 \le i \lt j \le k \lt l$，有 $a_i + a_l \gt a_j + a_k$，则 $a_{81}$ 的最小值为：

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注意到 $a_n \ge 1 + \frac{n(n - 1)}{2}$，因此答案为 $3241$。

10

已知 $a \in \R, \exists z \in \mathbb{C}$，满足：

$$|z + \sqrt{2}| = \sqrt{a^2 - 3a + 2}, |z + \sqrt{2}i| \lt a$$

求 $a$ 的取值范围。

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因为 $\sqrt{a^2 - 3a + 2} \ge 0, a \gt 0$，所以 $a \in (0, 1] \cup [2, \infty)$。带特殊值知 $(0, 1] \cup \{2\}$ 不可以，所以答案为 $(2, +\infty)$。

11

已知数列 $\set{a_n}$：

$$\begin{cases} a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{4}\\ a_{n + 1} = \frac{(n - 1)a_n}{n - a_n} & n = 2, 3, \dots \end{cases}$$

(1)

求 $a_n$ 通项公式。

(2)

证：$\sum_{k = 1}^{+\infty}a_{k}^2 \lt \frac{7}{6}$。

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(1)

归纳法得 $a_n = \frac{1}{3n - 2}$。

(2)

$$\frac{1}{(3n - 2)^2} \lt \frac{1}{(3n)(3n-3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n-3} - \frac{1}{3n})\\ \sum_{i = 1}^{+\infty}\frac{1}{(3i-2)^2} \lt 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{18} \lt \frac{7}{6}$$

实际在 $\frac{46}{41}$ 左右。

12

直线 $l$ 是双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a, b \gt 0)$ 的切线，切点为 $T$。$l$ 与 $C_1$ 的渐近线交于 $A, B$，线段 $AB$ 中点为 $M(2, 1)$。

椭圆 $C_2: \frac{x^2}{a_0^2} + \frac{y^2}{b_0^2} = 1 (a, b \gt 0)$ 的两个端点为 $C(0, b_0), D(a_0, 0)$，且 $O, T$ 在 $CD$异侧。$\angle CTD$ 的内、外角平分线交 $x$ 轴于 $E, F$，$\triangle TEF$ 的面积为 $S$。

(1)

求 $T$ 的坐标。

(2)

当 $S$ 取到最小值时，求 $CD$ 中点的轨迹。

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(1)

令 $T(x_0, y_0)$。则 $l: \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2}$。将 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 带入化简可得 $x_{1, 2} = \frac{a^2b}{bx_0 \pm ay_0}, \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{a^2b^2x_0}{b^2x_0^2 - a^2y_0^2}$。类似的，$\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{a^2b^2y_0}{b^2x_0^2 - a^2y_0^2}$。

故 $\frac{x_0}{y_0} = 2$。带入 $M$ 点坐标得 $y_0 = \frac{a^2b^2}{4b^2 - a^2}$。带入 $C_1$ 得 $y_0^2 = \frac{a^2b^2}{4b^2 - a^2}$。故 $y_0^2 = y_0 = 1, T(2, 1)$。

(2)

（省略若干步得）当 $TE = TF$ 时 $S$ 取 $\min$。则 $TC, TD$ 关于 $TE: y = x - 1$ 对称。

1. 当 $TD \perp x$ 轴，$TC \perp y$ 轴，$C(0, 1), D(2, 0)$，中点为 $(1, \frac{1}{2})$。

2. 当 $TD$ 斜率为 $k$ 时，$TC$ 斜率为 $\frac{1}{k}$，故 $D(2 - \frac{1}{k}, 0), C(0, 1 - \frac{2}{k})$。则中点为 $(1-\frac{1}{2k}, \frac{1}{2} - \frac{1}{k})$。故中点轨迹方程为 $y = 2x - \frac{3}{2} (x \in (\frac{3}{4}, \frac{3}{2}))$。

12

在 $\triangle ABC$ 中，直线 $DFH$ 交 $AB, BC, CA$ 于 $D, F, H$，直线 $EGI$ 交 $AB, BC, CA$ 于 $E, G, I$，$DFH$ 交 $EGI$ 于 $Z$。设 $O, P, Q$ 为 $DE, FG, HI$ 中点且三点共线。

证：$\frac{AB}{DE}, \frac{AC}{HI}, \frac{BC}{FG}$ 中较大者为其他两者之和。

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不会 qwq

13

给定实数数轴，其中 $0, 1$ 已标记。现在可以标记若干个数：每次选定已标记的两个数 $a, b$，标记 $2a-b$。

问：还要标记几个数才能标记到 $n (n \in \Z^+)$？

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https://www.luogu.com.cn/problem/P6241

令 $k = \lceil \log_2 n\rceil, 2^k - n = (\overline{n_{k - 1}\dots n_1n_0})_2$。

考虑数列 $a_i (0 \le i \le k)$：

$$a_i = \begin{cases} 1 & i = 0\\ 2a_i - n_{k - i} & 1 \le i \le k \end{cases}$$

则 $a_k = n$。

故答案不大于 $k$。

若只标记正数，则第 $k$ 个标记的小于等于 $2^k$。

若标记负数，则从第一个标记的负数之后，第 $k$ 个标记的数的绝对值小于 $2^k$，更加不优。（此段跳步）

故答案不小于 $k$。

综上，答案为 $\lceil \log_2 n\rceil$。